Người khai sinh lý thuyết xác suất hiện đại

 Những may rủi xuất hiện trong cuộc đời của Andrei Kolmogorov

Nếu hai nhà thống kê lạc mất nhau trong một khu rừng vô hạn, điều đầu tiên họ sẽ làm là uống cho thật say. Nhờ cách đó, họ sẽ đi lại gần như ngẫu nhiên và việc này sẽ mang lại cho họ cơ hội tốt nhất để gặp lại nhau. Tuy nhiên, các nhà thống kê nên sớm tỉnh rượu nếu họ muốn nhặt nấm.  Say rượu đi loăng quăng không mục đích sẽ thu hẹp phạm vi khám phá, và khả năng cao là họ sẽ quay trở lại vị trí ban đầu còn nấm thì lại hết mất rồi.

Những giả thiết như vậy thuộc về lý thuyết thống kê của “bước ngẫu nhiên” hay “bước của kẻ say xỉn”, trong đó tương lai chỉ phụ thuộc vào hiện tại chứ không phải quá khứ. Ngày nay, bước ngẫu nhiên được sử dụng trong các mô hình chia sẻ giá cả, sự phân tán nguyên tử, hoạt động thần kinh, và động lực học dân số, v.v. Người ta cho rằng cũng có thể sử dụng nó để mô tả “xu hướng gen” của một gen cụ thể – ví dụ như màu mắt xanh – trở nên phổ biến trong xã hội như thế nào. Thật mỉa mai, lý thuyết bác bỏ quá khứ này tự thân nó lại có một lịch sử khá phong phú. Nó là một trong nhiều đột phá tri thức được xây dựng bởi Andrei Kolmogorov, một nhà toán học với hiểu biết sâu rộng và khả năng đáng kinh ngạc, người đã cách mạng hóa vai trò của tính ngẫu nhiên trong toán học, trong khi vẫn cẩn trọng điều đình với những thay đổi không thể đoán trước của đời sống chính trị và hàn lâm ở nước Nga Xô viết.

Khi còn trẻ, Kolmogorov đã được nuôi dưỡng trong không khí tri thức sôi động của Moscow hậu cách mạng, mà các thử nghiệm văn chương, những tiên phong trong nghệ thuật, và các ý tưởng mới cấp tiến về khoa học xuất hiện khắp nơi. Ở những năm đầu thập niên 1920, là một sinh viên lịch sử 17 tuổi, ông đã trình bày một bài báo trước một hội đồng ở Đại học Moscow, đưa ra một phân tích mang tính thống kê độc đáo về đời sống của người Nga thời trung cổ. Nó cho thấy rằng, thuế khóa đánh trên cả làng thường là số nguyên, trong khi thuế trên từng hộ dân lại được biểu diễn bởi một phân số.  Bài báo kết luận – đầy tranh cãi vào thời điểm đó – rằng thuế khóa thu theo làng và chia ra trên từng hộ, thay vì thu theo từng hộ và gộp lại trên làng. Thầy của ông đã nhận xét gay gắt rằng “Cậu chỉ tìm thấy một bằng chứng mà thôi”.  “Điều đó là không đủ với một nhà sử học. Cậu cần ít nhất năm bằng chứng.” Lúc đó, Kolmogorov đã quyết định chuyển hướng tập trung sang toán học, nơi mà chỉ một chứng minh là quá đủ cho một vấn đề.

Thật thích hợp tới kỳ quặc là một sự kiện mang tính ngẫu nhiên lại đưa Kolmogorov vào lãnh địa của lý thuyết xác suất, mà ở thời điểm đó chỉ là một bộ phận nhỏ của toán học. Các xã hội tiền hiện đại thường nhìn nhận các sự kiện ngẫu nhiên như một biểu thị cho mong muốn của thần thánh; ở Ai Cập và Hy Lạp cổ đại, việc tung xúc xắc được nhìn nhận là một phương pháp tin cậy để xem bói hay bàn về may mắn. Cho đến đầu thế kỷ 19, các nhà toán học châu Âu đã phát triển các kỹ thuật để tính toán các tỉ lệ cược, và cô đọng xác suất về tỉ số của số những trường hợp cần có trên số tất cả các trường hợp có thể xảy ra. Nhưng cách tiếp cận này lại vướng vào lập luận vòng tròn – xác suất được định nghĩa theo những trường hợp khả dĩ như nhau – và chỉ có hiệu lực với những hệ mà có số lượng kết quả khả dĩ hữu hạn.

Nó không thể xử lý trường hợp có vô hạn đếm được (ví dụ như một trò chơi xúc xắc có vô hạn mặt) hoặc continuum (chẳng hạn như một trò chơi với xúc xắc hình cầu, mỗi điểm trên mặt cầu biểu diễn một kết quả khả dĩ) các biến cố. Những nỗ lực xử lý các tình huống như vậy chỉ mang lại những kết quả trái ngược, và khiến lý thuyết xác suất chịu mang tai tiếng xấu.

Sự nổi tiếng và thanh danh là những đặc điểm mà Kolmogorov nhận được. Sau khi chuyển ngành học, ban đầu Kolmogorov bị lôi cuốn vào nhóm toán quanh Nikolai Luzin, một giảng viên đầy cuốn hút ở Đại học Moscow. Những học trò của Luzin đặt tên cho nhóm là “Luzitania,” một cách chơi chữ theo tên giáo sư của họ và con tàu của Anh bị chìm trong Thế chiến thứ nhất.

Họ được thống nhất bởi “những con tim chung nhịp đập,” như Kolmogorov đã mô tả, tập hợp nhau lại sau giờ học để bàn luận chuyên sâu về những điều mới mẻ trong toán học. Họ chế giễu partial differential equation (các phương trình đạo hàm riêng) thành partial irreverential equation (các phương trình bất kính riêng) và finite difference (sai phân hữu hạn) thành fine night difference (khác biệt giữa đêm tối vui vẻ). Lý thuyết xác suất, thiếu vắng cơ sở lý thuyết và bị các nghịch lý đè nặng lên, đã bị đùa cợt thành “lý thuyết của sự thiếu may mắn”.

Nhờ có Luzitania mà sự đánh giá của Kolmogorov với lý thuyết xác suất bắt đầu chuyển sang một hướng cá nhân hơn. Cho tới thập niên 30 thế kỷ trước, dưới sự khủng bố của Stalin, bất kỳ ai cũng có thể gặp phải chuyện cảnh sát mật gõ cửa ban đêm và sự may rủi quyết định cuộc sống của mọi người. Bị tê liệt bởi sợ hãi, rất nhiều người Nga bị buộc phải tham gia vào việc tố giác, với hi vọng có thể tăng thêm cơ hội sống sót của mình. Những nhà hoạt động Bolshevik giữa các nhà toán học, bao gồm cả những học trò cũ của Luzin, đã buộc tội Luzin phản bội và chỉ trích ông ác liệt vì đã công bố ở các tạp chí của nước ngoài. Bản thân Kolmogorov lúc ấy đã có công bố ở nước ngoài, có thể cũng đã nhận ra khả năng chính mình bị tấn công. Ông đã biểu lộ sự sẵn sàng thỏa hiệp về mặt chính trị vì lợi ích cho sự nghiệp của mình, chấp nhận một vị trí giám đốc viện nghiên cứu khi người tiền nhiệm của ông bị chế độ Bolshevik bỏ tù do đã ủng hộ cho tự do tôn giáo. Kolmogorov đã tham gia phê bình và quay lưng lại với Luzin. Luzin đã trở thành đối tượng một buổi xét xử bởi Viện Hàn lâm Khoa học và mất tất cả các vị trí chính thức, nhưng thật ngạc nhiên lại có thể thoát khỏi bị bắt và bị bắn bởi bè lũ cầm quyền của Nga. Luzitania cũng tan rã, bị chìm bởi chính thủy thủ đoàn của nó.

Bỏ sang một bên chiều kích đạo đức trong quyết định của Kolmogorov, ông đã đặt cược thành công và nhận lại sự tự do để tiếp tục nghiên cứu. Mặc sự tuân thủ chính trị của chính mình, Kolmogorov đã giới thiệu một cơ sở căn bản và tối hậu cho lý thuyết xác suất. Ông dựa vào lý thuyết độ đo, một lý thuyết hợp thời, du nhập vào Nga từ Pháp. Lý thuyết độ đo thể hiện một tổng quát hóa cho các ý tưởng “độ dài”, “diện tích” hay “thể tích”, cho phép lựa chọn độ đo của nhiều đối tượng toán học khác nhau khi khái niệm thông thường là không đủ. Chẳng hạn, nó có thể giúp tính diện tích của một hình vuông với vô hạn các lỗ ở bên trong,chia nó thành vô hạn các mảnh nhỏ, phân tán trên một mặt phẳng vô hạn. Trong lý thuyết độ đo, người ta vẫn có thể nói về “diện tích” (độ đo) của vật thể bị phân tán như thế.

Kolmogorov đã vẽ ra những tương tự giữa lý thuyết xác suất và lý thuyết độ đo, thể hiện trong năm tiên đề, bây giờ thường được phát biểu có hệ thống thành sáu mệnh đề, đưa xác suất trở thành một bộ phận nghiêm chỉnh của giải tích toán học. Khái niệm căn bản nhất trong lý thuyết của Kolmogorov là “biến cố cơ bản,” kết quả của một phép thử đơn lẻ, như tung một đồng xu. Tất cả các biến cố cơ bản lập thành “không gian mẫu”, tập hợp của tất cả các kết quả khả dĩ. Chẳng hạn như với các cú sét đánh ở Massachusetts, không gian mẫu sẽ bao gồm tất cả các điểm trong bang mà sét có thể đánh vào. Một biến cố ngẫu nhiên sẽ được định nghĩa là một “tập đo được” trong một không gian mẫu, và xác suất của một biến cố ngẫu nhiên là “độ đo” của tập đó. Ví dụ xác suất sét đánh trúng Boston sẽ chỉ phụ thuộc vào diện tích (“độ đo”) của thành phố này. Hai biến cố xảy ra đồng thời có thể được biểu diễn bởi giao của các độ đo của chúng; xác suất có điều kiện thì biểu diễn bởi thương các độ đo; và xác suất mà một trong hai biến cố không phụ thuộc vào nhau xảy ra được tính bằng cách cộng các độ đo (ví dụ như, xác suất hoặc Boston hoặc Cambridge sẽ bị sét đánh bằng với tổng diện tích của chúng).

Nghịch lý Đường tròn lớn là một câu đố toán học mà cuối cùng thì phải nhờ tới khái niệm xác suất của Kolmogorov mới giải quyết được. Giả sử rằng người ngoài hành tinh hạ cánh ngẫu nhiên trên quả cầu hoàn hảo Trái Đất và xác suất điểm hạ cánh của họ được phân bố đều. Có phải điều ngày có nghĩa là họ sẽ có thể hạ cánh ở bất kỳ nơi nào dọc theo bất kỳ đường tròn nào chia mặt cầu thành hai bán cầu bằng nhau, hay còn gọi là “đường tròn lớn”? Hóa ra xác suất hạ cánh được phân bố đều dọc theo đường xích đạo, nhưng phân bố không đều trên các đường kinh tuyến, với xác suất tăng dần khi tới gần đường xích đạo và giảm ở các cực. Nói cách khác, người ngoài hành tinh có xu hướng hạ cánh ở những vùng có khí hậu nóng hơn. Có thể giải thích kết quả lạ lùng này bằng hình ảnh các đường tròn vĩ tuyến lớn dần khi chúng tiến dần tới xích đạo – nhưng kết quả này có vẻ thật vô lý, bởi vì chúng ta có thể quay đường tròn và biến đường xích đạo thành một đường kinh tuyến. Kolmogorov chỉ ra rằng đường tròn lớn có độ đo bằng không, bởi vì nó là một đoạn thẳng và có diện tích bằng không. Điều này giải thích mâu thuẫn rõ ràng trong các xác suất có điều kiện của việc hạ cánh bằng cách chỉ ra rằng không thể tính toán chính xác những xác suất như vậy.

Từng vượt qua thế giới rất thực của sự thanh trừng kiểu Stalin sang khu vực phù du của những xác suất có điều kiện với độ đo-không, Kolmogorov đã nhanh chóng lao trở lại thực tại. Trong suốt Thế chiến thứ hai, chính phủ Nga đã yêu cầu Kolmogorov phát triển các phương pháp giúp tăng tính hiệu quả của pháo binh. Ông đã chỉ ra rằng thay vì cố gắng tối đa xác suất mỗi phát bắn trúng đích, trong một số trường hợp cụ thể sẽ tốt hơn nếu bắn một loạt với độ lệch nhỏ từ một phát ngắm chuẩn xác, một chiến thuật được biết đến dưới tên gọi “khuếch tán nhân tạo”. Ban lý thuyết xác suất của Đại học Moscow mà ông đã trở thành trưởng ban, cũng đã tính toán các bảng đạn đạo cho những pha ném bom có chiều cao thấp, vận tốc nhỏ. Vào năm 1944 và 1945, chính phủ đã trao thưởng cho Kolmogorov hai Huân chương Lenin cho những đóng góp của ông trong thời chiến và sau cuộc chiến ông làm việc với tư cách cố vấn toán học cho chương trình vũ khí nhiệt hạch.

Nhưng những mối quan tâm của Kolmogorov có khuynh hướng đưa ông sang những hướng triết học hơn. Toán học đã đưa ông đến niềm tin rằng thế giới được dẫn dắt bởi may rủi và được sắp thứ tự một cách căn bản theo các định luật của xác suất.

Ông thường chỉ ra vai trò của tính ngẫu nhiên trong những hoạt động của con người. Cuộc gặp gỡ tình cờ của Kolmogorov với nhà toán học cùng thời Pavel Alexandrov trên một buổi chèo thuyền năm 1929 đã khởi đầu cho một tình bạn thân thiết suốt đời. Trong một trong những lá thư dài, thẳng thắn mà họ trao đổi, Alexandrov đã mắng mỏ Kolmogorov vì ý thích nói chuyện với người lạ trên tàu lần gần đây nhất, ngụ ý rằng những gặp gỡ như vậy quá hời hợt để thể hiện được cái nhìn thấu suốt vào tính cách thực của một con người. Kolmogorov phản đối, đưa ra một quan điểm mang tính xác suất về những tương tác xã hội trong đó mọi người hành động như những mẫu thống kê của các nhóm lớn hơn. “Một cá nhân sẽ có xu hướng hấp thu tinh thần xung quanh và thể hiện ra phong cách sống mà họ tiếp thu và quan điểm về thế giới trước bất kỳ ai xung quanh, không chỉ với một người bạn được lựa chọn,” ông trả lời Alexandrov.

Âm nhạc và văn chương vô cùng quan trọng với Kolmogorov, ông tin rằng mình có thể phân tích chúng dưới khía cạnh xác suất để thu được những hiểu biết sâu sắc về cách tư duy bên trong trí óc con người. Ông thuộc lớp người có văn hóa tinh hoa, người tin vào thứ bậc của các giá trị nghệ thuật. Ở đỉnh cao của nó là các tác phẩm của Goethe, Pushkin, và Thomas Mann, bên cạnh đó là những sáng tác của Bach, Vivaldi, Mozart và Beethoven, những công trình có giá trị trường tồn tương tự như những chân lý toán học vĩnh cửu. Kolmogorov nhấn mạnh rằng mọi công trình nghệ thuật đích thực là sáng tạo độc nhất, là thứ gì đó không thể định nghĩa, nằm ngoài địa hạt của những chuẩn mực thống kê đơn giản. “Liệu có thể gộp thêm cả Chiến tranh và hòa bình của Tolstoy theo một cách hợp lý vào tập hợp “tất cả những tiểu thuyết khả dĩ” và hơn nữa là đặt ra định đề về sự tồn tại của một phân bố xác suất nhất định cho tập hợp này không?”, ông đặt câu hỏi giễu cợt trong một bài báo in năm 1965.

Nhưng ông đã nóng lòng tìm kiếm chìa khóa cho hiểu biết về bản chất của sáng tạo nghệ thuật. Năm 1960 Kolmogorov đã tổ chức một nhóm các nhà nghiên cứu với những máy tính cơ điện và giao cho họ nhiệm vụ tính toán cấu trúc nhịp điệu của thơ ca Nga. Kolmogorov đặc biệt ưa thích sự sai lệch của những nhịp điệu thực sự từ những vần luật cổ điển. Trong thơ ca truyền thống, vần luật kiểu iamb là một nhịp điệu bao gồm một âm tiết không nhấn mạnh theo sau một âm tiết nhấn mạnh. Nhưng trong thực tế, người ta hiếm khi tuân thủ quy luật này. Trong bài Eugene Onegin của Pushkin, bài thơ iamb cổ điển nổi tiếng nhất bằng tiếng Nga, gần như ba phần tư trong 5300 dòng của nó vi phạm định nghĩa của vần luật iamb, và hơn một phần năm của tất cả những âm tiết chẵn là không nhấn. Kolmogorov tin rằng tần suất của sự sai lệch trong nhấn mạnh ở vần luật cổ điển đưa ra một “chân dung mang tính thống kê” khách quan cho nhà thơ. Ông nghĩ, một mẫu hình nhấn mạnh hiếm khi xảy ra đã chỉ ra óc sáng tạo và biểu hiện nghệ thuật. Nghiên cứu Pushkin, Pasternak và những nhà thơ Nga khác, Kolmogorov lập luận rằng họ đã xử lý các vần luật đầy khéo léo để đưa ra “màu sắc tự nhiên chung” cho bài thơ hay đoạn văn của mình.

Để đo được giá trị nghệ thuật của văn bản, Kolmogorov cũng sử dụng một phương pháp đoán chữ để đánh giá entropy của một ngôn ngữ tự nhiên. Trong lý thuyết thông tin, entropy là một thước đo tính bất định hoặc tính không dự đoán được, tương ứng với nội dung thông tin của một thông điệp: thông điệp càng không thể dự đoán được thì thông tin mà nó hàm chứa càng nhiều. Kolmogorov chuyển entropy thành một thước đo tính độc đáo trong nghệ thuật. Nhóm của ông đã sắp đặt một chuỗi các phép thử, cho trước các tình nguyện viên một trích đoạn văn xuôi hoặc thơ ca Nga, rồi hỏi họ đoán chữ cái tiếp theo, tiếp theo nữa, cứ thế. Kolmogorov đã bí mật nhận xét rằng, từ góc nhìn của lý thuyết thông tin, các tờ báo Xô Viết thường ít thông tin hơn thơ ca, bởi vì các bài diễn thuyết chính trị thường sử dụng một số lượng lớn những cụm từ đặc trưng và rất dễ đoán trước trong nội dung của nó. Trái lại, các bài thơ của các nhà thơ vĩ đại lại khó đoán hơn rất nhiều, mặc cho chúng chịu những giới hạn rất chặt chẽ theo thể thơ. Theo Kolmogorov, đây là một biểu hiện của tính độc đáo. Nghệ thuật thực sự phải không thể đoán trước được, một giá trị mà lý thuyết xác suất có thể giúp đo được.

Kolmogorov khinh thường ý tưởng đặt Chiến tranh và Hòa bình vào một không gian mẫu xác suất của tất cả các tiểu thuyết – nhưng ông có thể miêu tả tính không thể dự đoán của nó bằng cách tính độ phức tạp của nó. Kolmogorov coi độ phức tạp như độ dài của một mô tả ngắn nhất của một đối tượng, hay độ dài của một thuật toán sinh ra đối tượng. Những đối tượng tất định đều đơn giản theo nghĩa rằng chúng có thể được sinh ra từ những thuật toán ngắn như một chuỗi tuần hoàn các số 0 và 1. Những đối tượng thực sự ngẫu nhiên, không thể dự đoán được đều phức tạp: bất kỳ thuật toán nào sinh ra chúng cũng phải dài như chính chúng vậy. Ví dụ, những số vô tỷ – những con số không thể viết dưới dạng phân số – gần như chắc chắn là không có mẫu hình nào cho các chữ số đằng sau dấu thập phân. Bởi vậy, hầu hết các số vô tỷ đều là các đối tượng phức tạp bởi vì chúng chỉ có thể được ghi lại bằng cách viết ra dãy các chữ số thực tế kia.  Cách hiểu về độ phức tạp này phù hợp với ý niệm trực quan rằng không có phương pháp hay thuật toán nào có thể dự đoán các đối tượng ngẫu nhiên. Bây giờ việc quan trọng như một độ đo của các nguồn tính toán cần thiết là xác định một đối tượng, và tìm kiếm những ứng dụng đa dạng trong việc định tuyến mạng hiện đại, sắp xếp các thuật toán và nén dữ liệu.

Theo độ đo của riêng Kolmogorov, ông có một cuộc đời phức tạp. Cho tới lúc ông mất vào năm 1987 ở tuổi 84, ông đã không chỉ vượt qua một cuộc cách mạng, hai lần Thế chiến và Chiến tranh lạnh mà sự đổi mới của ông đã chạm tới hầu hết các địa hạt trong toán học, và mở rộng ra khỏi biên giới của thế giới hàn lâm. Mặc cho những bước ngẫu nhiên của ông trong cuộc đời là của người say hay người nhặt nấm, thì những lần xoay vòng và chuyển hướng của nó đều không thể dự đoán được và cũng không thể dễ dàng mô tả được. Thành công của ông trong việc nắm bắt và áp dụng tính không thể dự đoán được đã phục hồi lý thuyết xác suất, và tạo ra một miền đất cho vô hạn các dự án khoa học và kỹ thuật. Nhưng lý thuyết của ông cũng khuếch đại áp lực giữa trực giác của con người về tính không thể dự đoán được và sức mạnh hiển nhiên của công cụ toán học để mô tả nó.

Với Kolmogorov, những ý tưởng của ông không loại bỏ may rủi mà cũng không khẳng định một tính bất định căn bản trong thế giới của chúng ta; chúng chỉ cung cấp một ngôn ngữ đủ chặt chẽ để nói về những gì không thể biết chắc chắn. Một lần ông đã nhấn mạnh, khái niệm “ngẫu nhiên tuyệt đối” không có ý nghĩa hơn “tất định tuyệt đối”, và “Chúng ta không thể có những hiểu biết xác thực về sự tồn tại của những gì chưa thể biết.” Dù vậy nhờ có Kolmogorov, chúng ta có thể giải thích khi nào và tại sao chúng ta không có.